Mechatronics
Herramientas matemáticas para la localización espacial.
Descripciones espaciales y transformacionales
Un robot es un manipulador lo que implica que se desplazaran piezas y herramientas en el espacio mediante mecanismos. Esto conduce a la necesidad de representar posiciones y orientaciones de todo el conjunto que forma el manipulador. Es necesario definir sistemas de coordenadas y desarrollar convenciones para la representación de los movimientos del manipulador.
El termino descripción se utiliza en robótica para describir un sistema de manipulación como las piezas, herramientas y el mismo manipulador con respecto a la descripción de posiciones, orientaciones y de una entidad que contiene ambas descripciones denominada Trama.
Describiendo una posición
Al establecer un sistema de coordenada podemos ubicar cualquier punto en el universo con un vector de posición de orden 3 x 1. En la descripción de un sistema manipulador es común definir muchos sistemas de coordenadas, además del sistema de coordenadas universal, estos deben etiquetarse con información que identifique en cuál de estos sistemas están definidos.
Ejemplo
Este vector tiene valores numéricos que indican distancias sobre los ejes del vector universal
Figura1: Posición indicada por el vector AP (posición) sobre el vector universal.
Se puede también describir la posición de un punto en el espacio a través de las representaciones de coordenadas esféricas o cilíndricas.
Describiendo una orientación
No solo es necesario definir la posición del objeto a manipular, sino que también es necesario conocer la orientación del cuerpo manipulador con respecto a nuestro marco de referencia universal, el punto representado en la Figura2 está en la punta de los dedos del manipulador, pero no se conoce la orientación de este, el brazo podría cambiar la orientación de cada una de las articulaciones y aun podría mantenerse en la posición del espacio del punto de interés, entonces para conocer la orientación del manipulador se le adjunta un sistema de coordenadas que denominaremos {B} y luego se describe este sistema de coordenadas relativo al sistema de referencia {A}.
Figura2: Se observa la posición y orientación del manipulador.
El manipulador posee su propia dirección de coordenadas {B} 
el cual debe escribirse en función del sistema de coordenadas {A} quedando
donde {A} representada en la parte superior izquierda el vector de referencia universal y {B} representa el vector referenciado con respecto al vector universal {A} En teoría este arreglo de representación de vectores se le denomina matriz de rotación representada de esta forma
Cada columna de la matriz tiene las coordenadas de un eje del marco seguidor (ejes del Manipulador) con respecto al marco de referencia universal. Por ejemplo, la primera columna contiene las coordenadas del eje X del manipulador representada en el arreglo de ejes del marco de referencia universal. Similarmente la segunda y la tercera columna poseen las coordenadas del eje Y y Z del manipulador representadas con respecto al vector universal. Siempre que se represente la posición de un punto con un vector la orientación de este se hará por medio de una matriz de rotación.
Es importante el conocimiento de las propiedades de álgebra lineal para entender las trasformaciones que pueden adoptar las matrices, se sabe que el producto punto de dos vectores unitarios es el coseno del Angulo entre ellos entonces las matrices de rotación pueden llamarse cosenos de dirección.
Se puede expresar esta misma matriz como la descripción del Vector de la trama de {A} relativa a {B} mediante la transpuesta de la misma matriz.
O esta misma matriz puede adoptar igualdades respecto a la matriz {A} relativa a {B}.
Descripción de una trama
Para describir en un instante de tiempo donde se sitúa la mano del manipulador es necesario conocer la posición y orientación estas dos variables en conjunto se les denomina en robótica como trama esta está compuesta por cuatro vectores de tres elementos, uno proporciona la información de la posición y los otros tres de la orientación que a su vez se puede definir como una matriz rotacional. Por lo tanto, la trama {B} se describe definiendo los vectores de este con 
respecto a {A} quedando una matriz rotacional y 
como un vector de posicion que describe el origen de la trama {B} 
Figura3: Trama de un punto con posición y orientación con respecto al vector universal {A}
Las tramas también pueden estar en un conjunto de las cuales es necesario saber cómo ubicar esa información cabe mencionar que se posee de un vector universal del cual se pueden extender un conjunto de “ramificaciones” de posiciones y orientaciones si se decide analizar una de las tramas es necesario conocer su origen y como está representada con respecto a la trama de origen. Para proceder se debe generalizar la idea de que una trama es una descripción de un sistema de coordenadas relativo a otro donde este cuenta con orientación y posición. Si analizamos la Trama {C} se observa que esta depende de la orientación y posición de {R} el cual esta referenciada al vector universal {O}, un ejemplo clásico es un robot con marco de referencia de la tierra, ósea que se puede tomar la idea que esta es la forma habitual de representación universal.
Figura4: Ramificaciones de tramas
Ya que conocemos los conceptos básicos que caracterizan una trama conjunta con su posición y orientación es necesario también conocer los cálculos involucrados para poder cambiar las descripciones de una trama a otra.
Tramas Trasladadas
Este problema se presentaría por ejemplo cuando el robot se desplazará sin cambiar la orientación solo tendríamos un problema de distancia (Posición). Entonces la trama {B} con respecto a {A} solo difiere por su traslación en el espacio de trabajo donde 
es la variable a considerar.
Si analizamos la trama {B} de la Figura5 estas poseen la misma orientación y para poder calcular la descripción del punto de interés con respecto a la trama de referencia universal {A} se hace una suma de vectores donde 
Figura5: Trama trasladada
Trama Rotada
Para el análisis de la trama rotada es necesario conocer las propiedades de las matrices y hacer un esfuerzo de entender las diferentes formas de representar una matriz. Partiendo de esta idea se sabe que para representar la orientación es necesario una matriz de rotación 3 x 3 que involucran dos vectores donde {B} es representado sobre el vector universal {A}.
De la siguiente matriz rotacional se puede notar que las columnas son los vectores unitarios de {B} escritos en {A} y que las filas son los vectores unitarios de {A} pero escritos en {B} de esta forma se puede escribir la matriz de rotación de dos formas diferentes como un conjunto de tres vectores columnas o como un conjunto de tres vectores filas.
Figura6: Se muestra las dos formas de representación de la matriz de rotación.
Ahora lo que realmente deseamos conocer es la relación del punto de interés P con respecto al vector de referencia universal y este cálculo es posible ya que conocemos la descripción de la orientación de {B} con respecto a {A} ya que se tienen una matriz de rotación, pero cabe destacar que esta tiene componentes rotados los cuales se desean representar en función del punto de interés A (
) entonces se procede a escribir los vectores unitarios de {B} en función de {A} Quedando la proyección como el producto punto de los vectores.
Figura7: Trama {B} rotada y descripción matemática del punto P de interés.
Ejemplo de una trama rotada
El siguiente ejercicio muestra una trama {B} rotada θ=30º con respecto a la trama universal 
{A} sobre el vector Z. donde Z apunta hacia fuera de la pantalla. Encontrar AP
R/. Para proceder se sabe que la orientación de la trama {B} esta alterada y por lo tanto la orientación se debe escribir en función de la trama universal {A}. Ya que el ejercicio solo nos indica que solo el eje Z afecta la orientación con θ=30º desorientados.
Por la ecuación 3 de los cosenos de dirección podemos definir que la matriz de rotación afecta solo al rotacional RotZ (Z, θ)
Por lo tanto, la matriz de rotación de {B} con respecto al vector universal {A} queda definida:
Así el punto de interés con respecto a la orientación y posición de la trama {B} Con respecto a la trama universal {A} queda definido por las anteriores coordenadas.
Para aclarar un poco mas que paso aquí, imaginémonos que tenemos que dar con una dirección de una calle la cual nos urge dar con ella se nos ha orientado que con respecto al edificio del “Cine” es 2 cuadras al sur; pero con respecto al “Hotel” queda a 1 cuadras al este y casi 2 cuadras al sur para llegar al mismo punto.
“Cine” = 
“Hotel” = 
Quedando entonces definido el mismo punto en el espacio el cual se puede ver desde dos tramas diferentes.
Introducción robótica
¿Como esta posicionada la Robótica?
La robótica está dividida en 4 grandes campos
- Manipulación mecánica
- Locomoción
- Visión computacional
- Inteligencia Artificial
Las principales razones del crecimiento del uso de los robots es debido a la reducción de los costos, ya que los precios disminuyen al mismo tiempo el costo de la mano de obra humana incrementa. Estos a su vez se están volviendo más rápidos, precisos y flexibles. A medida que los robots se vuelven más efectivos en cuanto al costo por sus tareas y a medida que aumenta el costo de la mano de obra humana habrá más trabajos que se conviertan en candidatos para la automatización robótica.
Una tendencia secundaria es que haciendo de lado la economía, a medida que los robots se vuelven más capaces, podrán hacer más y más tareas que serían peligrosas o imposibles de realizar para los seres humanos.
Las aplicaciones que llevan a cabo los robots industriales se están volviendo más sofisticadas, en el año 2000 el 78% de los robots instalados en los Estados Unidos Fueron robots para soldadura.
¿Cuales son los retos de aprendizaje de la robótica?
La mecánica y el control es el mayor reto de la robótica industrial – Manipulador mecánico.
Muchas veces se discute sobre que es un robot industrial exactamente Los manipuladores mecánicos son incluidos pero las máquinas fresadoras controladas numéricamente generalmente no. La distinción está en alguna parte de la sofisticada capacidad de programación del dispositivo, si un dispositivo mecánico puede programarse para realizar una amplia variedad de aplicaciones, probablemente sea un robot industrial. Las maquinas en su mayor parte están limitadas a una clase de tarea considerada como automatización fija.
El estudio de la mecánica y el control de manipuladores no es una ciencia nueva sino simplemente una colección de temas provenientes de campos clásicos.
Figura1: Campos de la robótica
La ingeniería mecánica contribuye con metodologías para el estudio de máquinas en situaciones estáticas y dinámicas. Las matemáticas proveen de herramientas para describir los movimientos espaciales y demás atributos de los manipuladores. La teoría de control proporciona herramientas para diseñar y evaluar algoritmos para realizar movimientos deseados o las aplicaciones de fuerza. Las técnicas de la ingeniería eléctrica se aplican en el diseño de sensores e interfaces para robots industriales y la ciencia computacional contribuye con la base de programar dispositivos para realizar la tarea deseada.
En el estudio de la robótica la preocupación más constante es la ubicación de los objetos en el espacio tridimensional. Estos objetos son los vínculos del manipulador, las piezas y herramientas con las que trabaja y los demás objetos en el entorno del manipulador.
Podemos describir a un nivel básico estos objetos mediante solo dos atributos posición y orientación que se complementa su análisis con las técnicas matemáticas que nos permitan manipular el objeto de interés.
Para poder describir la posición y orientación de un cuerpo en el espacio, siempre se adjunta rígidamente un sistema de coordenadas, o trama, al objeto. Después se describe la posición y orientación de esta trama con respecto a coordenadas de referencias.
Cinemática directa de los manipuladores
La cinemática es la ciencia que trata el movimiento sin considerar las fuerzas que lo ocasionan. Dentro de la cinemática se estudian la posición, velocidad, aceleración y todas las derivadas de mayor orden de las variables de posición.
Figura2: Orientación de los cuerpos en el espacio tridimensional
Los manipuladores consisten de vínculos casi rígidos, los cuales están conectado a articulaciones que permiten el movimiento relativo de los vínculos adyacentes. Estas articulaciones generalmente se instrumentan con sensores de posición, los cuales permiten medir la posición relativa de los vínculos adyacentes.
Tipos de articulaciones
- Articulaciones simples (un grado de libertad)
a.1) Articulaciones Traslacionales: Desplazamiento lineal.
a.1.1) Articulación telescópica: Los ejes que producen el movimiento están alineados.
a.1.2) Articulación transversal: Los dos ejes están en posición transversal.
a.2) Articulaciones rotacionales: Desplazamiento angular.
a.2.1) Articulación alineada o pívot: Los ejes producen movimientos alineados
a.2.2) Articulación Transversal o bisagra: Los dos ejes están en posición transversal
a.3) Articulaciones compuestas: poseen más de un grado de libertad.
Figura3: Configuraciones de robots industriales
El número de grados de libertad que posee un manipulador es el número de variables de posición independientes que tendrían que especificarse para poder localizar las piezas del mecanismo. En el caso de robots industriales comunes como un manipulador es generalmente una cadena cinemática abierta y como la posición de cada articulación se define generalmente con una sola variable, el número de articulaciones es igual al número de grados de libertad. El problema de la cinemática directa es calcular la posición y orientación de la trama de la herramienta relativa a la trama base.
Cinemática inversa de los manipuladores
El problema se plantea de la siguiente manera: dada la posición y orientación del efector final del manipulador, se calcula todos los conjuntos posibles de ángulos articulares que podrían utilizarse para obtener esta posición y orientación dadas. Este es un problema fundamental en el uso práctico de los manipuladores.
Rutinariamente el problema del cálculo de la cinemática inversa lo hacen sistemas biológicos de una forma muy sencilla ejemplo de esta es la capacidad del cerebro y el sistema nervioso logran realizar movimientos que son rutinarios para nosotros al manipular un objeto con el brazo.
Se puede pensar en ese problema como una asignación de ubicaciones en el espacio cartesiano 3D a “ubicaciones” en el espacio de articulaciones internas del robot.
La necesidad surge naturalmente al momento de especificar un objetivo en coordenadas en el espacio 3D externas. Anteriormente se carecían de algoritmos como este en los robots, simplemente se desplazaba hacia las ubicaciones deseadas que después se registraba como un conjunto de valores de articulación (es decir como una ubicación en el espacio de la articulación) para su posterior reproducción.
Figura4: Trama de las articulaciones puede calcularse por cinemática inversa
El problema de la cinemática inversa no es tan simple como el de la cinemática directa. Debido a que las ecuaciones cinemáticas no son lineales, su solución no es siempre sencilla (o incluso posible) en una forma cerrada. Además, surgen preguntas sobre si existe una solución o existen múltiples soluciones. En ocasiones la falta de una solución significa que el manipulador no puede obtener la posición y orientación deseada ya que se encuentran fuera del espacio de trabajo del manipulador.
Velocidades, fuerzas estáticas, singularidades.
Además de tratar con problemas de posicionamiento estático, es conveniente analizar los manipuladores en movimiento. Para el análisis de velocidad de un mecanismo es conveniente definir una matriz conocida como el jacobiano del manipulador. El jacobiano especifica la asignación de las velocidades en espacio de articulaciones a las velocidades en espacio cartesiano. Puntos de singularidad son importantes tener en cuenta por los diseñadores y usuarios de los manipuladores.
Explicando más la singularidad del mecanismo, todos los mecanismos están sujetos a estas dificultades, incluyendo los robots, estas condiciones de singularidad no evitan que el brazo de un robot se posicione en cualquier parte dentro de su espacio de trabajo, sin embargo, pueden ocasionar problemas con los movimientos del brazo en su entorno. En este caso surge el siguiente problema: dada una fuerza y un momento de contacto deseados, ¿qué conjunto de momentos de torsión comunes se requiere para generarlas? El uso de la matriz jacobiana del manipulador naturalmente soluciona este problema.
Espacio de trabajo método analítico para obtener expresiones analíticas de las curvas limites o superficies.
- Definir la postura del efector final en término de coordenadas generalizadas es decir resolver la cinemática del robot.
Jacobianos se considera diseñar un robot de n grados de libertad (GDL) y las coordenadas articulares están caracterizadas por el siguiente vector q(t) = [q1(t),q2(t),…,qn(t)] si se dispone de esta solución para la cinemática directa entonces se conoce la ecuación p(t) = f(q(t)) donde f(q(t)) = [x(t), y(t), z(t), Φ(t), θ(t), Ψ (t)] para obtener las ecuaciones cinemáticas se usa el método de DENAVIT-HARTENBERG (matrices de transformación homogénea).
- Determinar las curvas (superficies) generadas por las singularidades
- Determinar el subset de esas curvas (superficies) para representar el espacio de trabajo.
Dinámica
Es amplio campo dedicado al estudio de las fuerzas que se requieren para ocasionar el movimiento. Para poder acelerar el manipulador desde una posición inerte, deslizarlo a una velocidad constante del efector final y finalmente desacelerarlo hasta tener completamente, los actuadores de las articulaciones deben aplicar un conjunto de funciones de momento de torsión. Los movimientos exactos del movimiento de torsión de un actuador dependen de la ruta tomada por el efector final y las propiedades de masa de los vínculos y de la carga útil, de la fricción en las articulaciones etc.
Los usos de las funciones de momento de torsión del actuador son indispensables para controlar el manipulador para que siga la ruta o trayectoria deseada, para su modelación se usan las ecuaciones de dinámicas de movimiento del manipulador.
Levantar un objeto liviano que nuestro cerebro pensaba que era pesado nos da la sensación de un mal cálculo, lo mismo pasa en la modelación de los algoritmos de un robot es conveniente mantener los parámetros ideales asociados a los parámetros dinámicos
Generación de Trayectorias
Para que el sistema se mueva de acuerdo a los requerimientos de la tarea de una forma suave y controlada, se tiene que mover la articulación según lo especificado por una función en el tiempo de manera que el movimiento del manipulador parezca coordinado. La forma de calcular estas funciones de movimiento es debido a la generación de trayectorias.
La ruta de los movimientos del manipulador se puede plantear también mediante algunas ubicaciones intermedias o puntos vías a través de los cuales pasa el manipulador en su ruta hacia su destino. Trazador es el término usado cuando se pasa por un conjunto de puntos vías. Este conjunto de movimientos en el espacio debe convertirse a un conjunto de movimientos de articulaciones que se denomina generación de trayectorias cartesianas.
Diseño y sensores del manipulador
Para la construcción del manipulador se debe analizar la complejidad de la tarea a realizar cuando este interactúe con el objeto, podemos seguir dos enfoques construir un robot especializado para una tarea específica o construir un robot universal que pueda realizar una amplia variedad de tareas. Si se escoge el robot especializado se tendrá que analizar la tarea especificada para no hacer un robot sobrevalorado a las funciones que está sometido a interactuar. El robot universal se tendrá que hacer un estudio completo de las diferentes posiciones que adoptara el manipulador al interactuar con un objeto, seis articulaciones es el número máximo para definirlo universal.
Control de Posición Lineal
Figura5: Esquema de control de un Robot
Los manipuladores están equipados con motores de paso a paso o con otros actuadores que pueden ejecutar directamente una trayectoria deseada. La mayoría de los actuadores suministran una fuerza o momento de torsión para ocasionar el movimiento de los vínculos necesitando para este un algoritmo para calcular momentos de torsión que produzcan el movimiento deseado. Una de las principales preocupaciones de un sistema de control de posición son compensar automáticamente los errores de los parámetros del sistema con respecto a los disturbios que tienden a desviar el sistema de la trayectoria deseada. Para lograrlo el algoritmo de control vigila los sensores de posición y velocidad determinando los comandos de momento de torsión para los actuadores
Figura6: El Algoritmo de control controla la posición de la trayectoria obteniendo una retroalimentación de los sensores para ejecutar el movimiento.
Control de fuerza
Un manipulador se ve en la tarea de manipular objetos estos pueden ser sólidos, blandos o frágiles por lo tanto se debe controlar también la fuerza con la que el manipulador ejecuta la acción cuando este se vea obligado a interactuar a tareas del mundo real. El control de la fuerza es complementario al control de posición, si la situación es orientar el manipulador a un punto determinado el control de la fuerza no implica problema ya que se supone que el área estará despejada y para el manipulador no es conveniente tomar en cuenta este factor. Cuando el robot este posicionado en el punto de operación es necesario que cuando este interactúe con el objeto o pieza no aplique fuerza excesiva al manipularlo. Por lo tanto, es necesario diseñar un control mixto o hibrido en donde ciertas direcciones se controlen mediante el control de posiciones y las direcciones restantes (Manipulación) se controlen mediante el control de Fuerza. Si se quiere indicar a un robot el lavado de una ventana donde el manipulador se tiene que posicionar y después moverse de un lado a otro aplicando una fuerza perpendicular hacia el vidrio entonces es indispensable que este no aplique demasiada fuerza al objeto. En conclusión, el objeto se ve sometido a una fuerza por el manipulador, pero el manipulador se ve sometido a un juego de posiciones en el espacio de trabajo.
Programación
Figura7: Tipos de Programación de Robots
Los robots se caracterizan por el tipo de automatización ya sea fija (dedicada) y flexibles. De cualquier forma, se debe programar los movimientos del manipulador a través del uso de sensores y entre otras técnicas de control. Los sistemas robóticos más comunes tienen una programación donde el usuario señala un punto especial del extremo del manipulador del robot denominado punto operacional (TCP Tool Center Point) Las rutas se van construyendo mediante las especificaciones de secuencia de puntos vías. El robot seguirá esta ruta donde también se puede indicar las diferentes velocidades para diferentes intervalos de los puntos vías (TCP) con todos estos parámetros el algoritmo de generación de trayectorias debe planear todos los detalles del movimiento: Perfiles de velocidad de las articulaciones, El tiempo de duración del movimiento entre otros.
Programación fuera de línea y simulación
Es un entorno de programación de robots no directa, usando generalmente gráficos computacionales que describen la orientación y posición del robot, sin necesidad de acceder al robot haciendo de este un dispositivo en la industria más versátil ya que no se necesita detener la producción para establecer trayectorias del manipulador.
Figura8: Programación fuera de linea Simulador CAD
Yeser Alfredo Morales 